Δεύτερη παράγωγος και συντελεστής διεύθυνσης εφαπτομένης

Με αφορμή την παρακάτω άσκηση (η οποία είναι μια συνηθισμένη άσκηση στα ακρότατα και μπορούμε να τη βρούμε σε πολλά βιβλία), προσπαθούμε με το παρακάτω δυναμικό σχέδιο (πατήστε εδώ ) να ξεκαθαρίσουμε ότι άλλο το σημείο όπου μια συνάρτηση έχει μέγιστο και άλλο σε ποιο σημείο ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης γίνεται μέγιστος.

Άσκηση: Δίνεται η
.
Να βρείτε το σημείο της γραφικής παράστασης της f όπου ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης γίνεται μέγιστος.

Το συνηθισμένο λάθος που γίνεται σ' αυτήν την άσκηση είναι ότι οι μαθητές βρίσκουν το σημείο στο οποίο η f έχει μέγιστο, από το πρόσημο της πρώτης παραγώγου. Το σωστό είναι βέβαια να βρούμε το σημείο στο οποίο η f ' έχει μέγιστο, που σημαίνει να βρούμε το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου.

Κυλιόμενοι κύκλοι. Επίκυκλοι και Υπόκυκλοι.

Κύκλοι που κυλίονται πάνω σε άλλους κύκλους (επίκυκλοι) ή μέσα σε άλλους κύκλους (υπόκυκλοι) ή πάνω σε ευθείες, κινούσαν από πάντα το ενδιαφέρον όχι μόνο των μαθηματικών, αλλά και των αστρονόμων και των μηχανικών.

Γραφική παράσταση της f(x)=a ημ(ω x)+β

Για να "κατεβάσετε" το φύλλο εργασίας πατήστε εδώ.
Θα χρειαστείτε τα παρακάτω δυναμικά σχέδια:
sinus1.html,
sinus2.html,
sinus3.html.

Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο

Στις παρακάτω δραστηριότητες θα προσπαθήσουμε να πειραματιστούμε και να ανακαλύψουμε τις σχέσεις που συνδέουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς παραπληρωματικών, συμπληρωματικών, αντίθετων και γωνιών που διαφέρουν κατά 180 μοίρες. Οι "πειραματισμοί" μας θα γίνουν στον τριγωνομετρικό κύκλο, οπότε η εξοικείωση μ' αυτόν είναι αναγκαία.




Διερεύνηση 1: Πατήστε εδώ για να "ανακαλύψετε" τις σχέσεις που συνδέουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των παραπληρωματικών γωνιών.

Διερεύνηση 2: Ομοίως εδώ για τις γωνίες που διαφέρουν κατά 180 μοίρες.

Διερεύνηση 3: Το ίδιο για τις αντίθετες γωνίες.

Διερεύνηση 4: Τέλος "ανακαλύψτε" τις σχέσεις που συνδέουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των συμπληρωματικών γωνιών.

Ένας γεωμετρικός τόπος

Εδώ παρουσιάζεται ένας γεωμετρικός τόπος, ο οποίος παρόλο που είναι πολύ χρήσιμος για την κατανόηση των εγγράψιμων τετράπλευρων, είναι εκτός της διδακτέας ύλης. Πιστεύουμε ότι ο μαθητής ο οποίος θα βρει το χρόνο να πειραματιστεί με το παρακάτω θα ωφεληθεί αρκετά.
(Πατήστε εδώ για να ανοίξει η παρουσίαση)

Ποιος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου από τα οποία ένα δοσμένο ευθύγραμμο τμήμα φαίνεται υπό σταθερή γωνία;

Εγγράψιμο τετράπλευρο

Στην παρακάτω δραστηριότητα θα προσπαθήσουμε να ανακαλύψουμε τις ιδιότητες των εγγράψιμων τετραπλεύρων. Θα εξετάσουμε τις σχέσεις των απέναντι γωνιών του, μιας γωνίας του με την απέναντι εξωτερική, καθώς και τη θέση των μεσοκαθέτων των πλευρών του. Πατήστε εδώ για να "πειραματιστείτε" και να ανακαλύψετε τις ιδιότητες.

Τριγωνομετρικός κύκλος

Κάνετε κλικ εδώ και εξοικειωθείτε με τον τριγωνομετρικό κύκλο.

Εγγεγραμμένη γωνία και γωνία χορδής και εφαπτομένης.

Σ' αυτή τη δραστηριότητα μπορείτε να παρατηρήσετε και να ανακαλύψετε τις σχέσεις που συνδέουν την εγγεγραμμένη γωνία με το τόξο στο οποίο βαίνει καθώς και με την αντίστοιχη γωνία χορδής και εφαπτομένης.
Κάνετε κλικ εδώ και ακολουθήστε τις οδηγίες.