tag:blogger.com,1999:blog-7676274817993456362024-03-08T19:26:14.876+02:00Μαθηματικα για το Γυμνασιο και το ΛυκειοΙστολογιο για τη διδασκαλια των μαθηματικων με τη χρηση των νεων τεχνολογιων.Νικολής Θανάσηςhttp://www.blogger.com/profile/10896842966873632142noreply@blogger.comBlogger14125tag:blogger.com,1999:blog-767627481799345636.post-45956601416507855902013-03-17T21:36:00.000+02:002014-11-23T20:16:30.013+02:00Εξερευνώντας την έλλειψη<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Στο διαδραστικό σχήμα που μπορείτε να ανοίξετε πατώντας <a href="http://ggbtu.be/m318363" target="_blank">εδώ</a> σας δίνεται η δυνατότητα να διαπιστώσετε μεταξύ άλλων, τη βασική ιδιότητα των σημείων μιας έλλειψης με εξίσωση<br />
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{x^2}{\alpha ^2}+\frac{y^2}{\beta ^2}=1" title="\frac{x^2}{\alpha ^2}+\frac{y^2}{\beta ^2}=1" /> <br />
τις διάφορες τιμές της εκκεντρότητας μεταβάλοντας τις τιμές των παραμέτρων α και β καθώς και τις διάφορες θέσεις των εστιών. Ιδαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση όπου η έλλειψη "εκφυλίζεται" σε κύκλο.</div>
Νικολής Θανάσηςhttp://www.blogger.com/profile/10896842966873632142noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-767627481799345636.post-39447657655297037332011-03-23T23:14:00.001+02:002014-11-24T22:21:39.704+02:00Συμμετρία ως προς κέντρο.<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div class="MsoNormal">
Στο δυναμικό σχήμα το οποίο παρουσιάζεται, μπορείτε να δείτε τη στροφή ενός τριγώνου ως προς ένα σημείο. Ειδικότερα η στροφή κατά <span lang="EN-US">180<sup>o</sup> είναι η γνωστή μας συμμετρία ως προς κέντρο. Πατήστε <a href="http://ggbtu.be/m322737" target="_blank">εδώ</a> για να πειραματιστείτε. </span></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
</div>
Νικολής Θανάσηςhttp://www.blogger.com/profile/10896842966873632142noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-767627481799345636.post-44146863174820742882011-02-28T22:29:00.001+02:002014-11-24T22:30:52.445+02:00Οι ευθείες y=αx και y=αx+β<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Η ευθεία y=αx διέρχεται από την αρχή των αξόνων και έχει κλίση α. Η ευθεία y=αx+β δε διέρχεται από την αρχή των αξόνων για μη μηδενικό β. Πειραματιστείτε με το διαδραστικό σχήμα για τις διάφορες τιμές των α και β και "ανακαλύψτε " τη σχέση που συνδέει τις δυο ευθείες. Για να ανοίξει το σχήμα πατήστε <a href="http://ggbtu.be/m322823" target="_blank">εδώ</a>.</div>
Νικολής Θανάσηςhttp://www.blogger.com/profile/10896842966873632142noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-767627481799345636.post-55511698533696979822011-02-20T10:51:00.008+02:002014-11-24T22:14:36.755+02:00Υπολογισμός εμβαδού όταν το ένα όριο τείνει στο άπειρο.<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Θεωρούμε Ε(λ) το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της<br />
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?f%28x%29=e%5Ex" title="f(x)=e^x" /><br />
την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της A(1 , e), τον άξονα x'x και την κατακόρυφη ευθεία x=λ, με λ<0.<br />
<ol style="text-align: left;">
<li>Αποδείξτε ότι <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?E%28%5Clambda%20%29=%5Cfrac%7Be%7D%7B2%7D-e%5E%5Clambda" title="E(\lambda )=\frac{e}{2}-e^\lambda" /></li>
<li> Αποδείξτε ότι <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clim_%7B%5Clambda%5Cto%20-%5Cinfty%7DE%28%5Clambda%20%29=%5Cfrac%7Be%7D%7B2%7D" title="\lim_{\lambda\to -\infty}E(\lambda )=\frac{e}{2}" /> </li>
</ol>
Για να πειραματιστείτε με το εμβαδόν εμφανίστε το <a href="http://ggbtu.be/m322695" target="_blank">διαδραστικό σχέδιο</a>. </div>
Νικολής Θανάσηςhttp://www.blogger.com/profile/10896842966873632142noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-767627481799345636.post-9406004870733329782010-11-25T15:44:00.001+02:002014-11-24T22:51:22.142+02:00Το ορθόκεντρο ενός τριγώνου και ο περιγεγραμμένος κύκλος<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Ένα απλό Λήμμα το οποίο αποτελεί μια ωραία εφαρμογή στα εγγεγραμμένα τετράπλευρα είναι το εξής:<br />
<blockquote>
Τα συμμετρικά σημεία του ορθόκεντρου ενός τριγώνου ως προς τις πλευρές του ανήκουν στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου.</blockquote>
Το <a href="http://ggbtu.be/m322895" target="_blank">δυναμικό</a> σχήμα το οποίο θα ανοίξει πατώντας τον προηγούμενο σύνδεσμο σας δίνει τη δυνατότητα να δείτε και να πειραματιστείτε με τα συμμετρικά σημεία του ορθόκεντρου, αλλά και σας δίνει μια υπόδειξη για την απόδειξη του προηγούμενου Λήμματος.<br />
<br />
<blockquote>
<br /></blockquote>
</div>
Νικολής Θανάσηςhttp://www.blogger.com/profile/10896842966873632142noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-767627481799345636.post-31011841191695932382010-11-18T18:50:00.001+02:002014-11-25T19:53:07.628+02:00Κέντρα Τριγώνου: Ορθόκεντρο<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Στο διαδραστικό σχήμα στο οποίο θα συνδεθείτε πατώντας <a href="http://ggbtu.be/m325999" target="_blank">εδώ</a>, μπορείτε να παρατηρήσετε τα ύψη ενός τριγώνου και την σημαντική και "παράξενη" ιδιότητά τους να συντρέχουν δηλαδή να διέρχονται από το ίδιο σημείο. Μπορείτε να αλλάξετε το τρίγωνο σύροντας τις κορυφές του με το ποντίκι, και συγχρόνως να παρακολουθείτε πως αλλάζουν μαζί τα ύψη και το σημείο τομής τους δηλαδή το <b>ορθόκεντρο</b> του τριγώνου. Πειραματιστείτε επίσης με την περίπτωση όπου το τρίγωνο είναι ορθογώνιο ή αμβλυγώνιο. Τι συμβαίνει τότε με τη θέση του ορθόκεντρου;</div>
Νικολής Θανάσηςhttp://www.blogger.com/profile/10896842966873632142noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-767627481799345636.post-90795799707039114032009-12-18T14:36:00.011+02:002014-11-24T22:44:08.554+02:00Δεύτερη παράγωγος και συντελεστής διεύθυνσης εφαπτομένης<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Με αφορμή την παρακάτω άσκηση (η οποία είναι μια συνηθισμένη άσκηση στα ακρότατα και μπορούμε να τη βρούμε σε πολλά βιβλία), προσπαθούμε με το παρακάτω δυναμικό σχέδιο (πατήστε <a href="http://ggbtu.be/m322873" target="_blank">εδώ </a>) να ξεκαθαρίσουμε ότι άλλο το σημείο όπου μια συνάρτηση έχει μέγιστο και άλλο σε ποιο σημείο ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης γίνεται μέγιστος.<br />
<blockquote>
<br />
<u>Άσκηση:</u> Δίνεται η<br />
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?f%28x%29=%5Cfrac%7Bx%7D%7Bx%5E%7B2%7D+1%7D,%20%20%20x%5Cin%20[-%5Csqrt%7B3%7D,%5Csqrt%7B3%7D]" title="f(x)=\frac{x}{x^{2}+1} \mu \varepsilon x\in [-\sqrt{3},\sqrt{3}]" />.<br />
Να βρείτε το σημείο της γραφικής παράστασης της <span style="font-style: italic;">f</span> όπου ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης γίνεται μέγιστος.</blockquote>
<br />
<br />
Το συνηθισμένο λάθος που γίνεται σ' αυτήν την άσκηση είναι ότι οι μαθητές βρίσκουν το σημείο στο οποίο η <span style="font-style: italic;">f </span>έχει μέγιστο, από το πρόσημο της πρώτης παραγώγου. Το σωστό είναι βέβαια να βρούμε το σημείο στο οποίο η <span style="font-style: italic;">f</span> ' έχει μέγιστο, που σημαίνει να βρούμε το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου.<br />
<blockquote>
</blockquote>
</div>
Νικολής Θανάσηςhttp://www.blogger.com/profile/10896842966873632142noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-767627481799345636.post-35682119745064513782009-12-13T12:58:00.007+02:002014-11-25T21:12:05.206+02:00Κυλιόμενοι κύκλοι. Επίκυκλοι και Υπόκυκλοι.<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Κύκλοι που κυλίονται πάνω σε άλλους κύκλους (επίκυκλοι) ή μέσα σε άλλους κύκλους (υπόκυκλοι) ή πάνω σε ευθείες, κινούσαν από πάντα το ενδιαφέρον όχι μόνο των μαθηματικών, αλλά και των αστρονόμων και των μηχανικών.<br />
<br />
<a name='more'></a><br />
Οι αρχαίοι Έλληνες αστρονόμοι προκειμένου να εξηγήσουν την ανάδρομη (πισωγύρισμα) κίνηση των πλανητών, επινόησαν στα πλαίσια του γεωκεντρικού συστήματος ένα περίπλοκο σύστημα επικύκλων, το οποίο ερμήνευε αρκετά ικανοποιητικά τα φαινόμενα. Σημειωτέον ότι το σύστημα αυτό ήταν σε ισχύ για αρκετούς αιώνες, μέχρι τη διατύπωση των νόμων του Kepler, οπότε και εγκαταλείφθηκε.<br />
Οι υπόκυκλοι βρήκαν εφαρμογές από τους μηχανικούς σε κατασκευές με γρανάζια, στη δε ειδική περίπτωση όπου ο εσωτερικός κύκλος έχει ακτίνα τη μισή του εξωτερικού έχουμε το εντυπωσιακό αποτέλεσμα ένα σταθερό σημείο στον εσωτερικό κύκλο να διαγράφει τη διάμετρο του εξωτερικού κύκλου. Το αποτέλεσμα αυτό χρησιμοποιήθηκε για τη μετατροπή της κυκλικής κίνησης σε ευθύγραμμη.<br />
<br />
<span style="font-weight: bold;"><u>1η Δραστηριότητα: (Επίκυκλοι)</u></span> Κυλίστε έναν κύκλο πάνω σε έναν άλλο κύκλο πατωντας <a href="http://ggbtu.be/m326097" target="_blank">εδώ.</a><br />
<br />
<span style="font-weight: bold;"><u>2η Δραστηριότητα: (Επίκυκλοι)</u></span> Κυλίστε έναν κύκλο ώστε το κέντρο του να κυλίεται πάνω σε έναν άλλο κύκλο πατωντας <a href="http://ggbtu.be/m326113" target="_blank">εδώ.</a><br />
<br />
<span style="font-weight: bold;"><u>3η Δραστηριότητα: (επικυκλοειδής καμπύλη)</u></span> Κυλίστε έναν κύκλο πάνω σε μια ευθεία πατώντας <a href="http://ggbtu.be/m326135" target="_blank">εδώ.</a><br />
<br />
<span style="font-weight: bold;"><u>4η Δραστηριότητα: (Υπόκυκλοι)</u></span> Κυλίστε έναν κύκλο μέσα σε έναν άλλο κύκλο πατωντας <a href="http://ggbtu.be/m326351" target="_blank">εδώ.</a></div>
Νικολής Θανάσηςhttp://www.blogger.com/profile/10896842966873632142noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-767627481799345636.post-80334282376728494442009-11-01T21:44:00.010+02:002014-11-25T18:58:20.542+02:00Γραφική παράσταση της f(x)=a ημ(ω x)+β<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Για να "κατεβάσετε" το φύλλο εργασίας πατήστε <a href="https://www.dropbox.com/s/lj66yd2i0oekjjq/fyllo_ergasias.pdf?dl=0" target="_blank">εδώ.</a><br />
Θα χρειαστείτε τα παρακάτω δυναμικά σχέδια:<br />
<a href="http://ggbtu.be/m307137" target="_blank">sinus1.html</a>,<br />
<a href="http://ggbtu.be/m307419" target="_blank">sinus2.html</a>,<br />
<a href="http://ggbtu.be/m307497" target="_blank">sinus3.html</a>.</div>
Νικολής Θανάσηςhttp://www.blogger.com/profile/10896842966873632142noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-767627481799345636.post-71680357375563752662009-10-12T19:10:00.010+03:002014-11-23T23:46:18.778+02:00Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<span style="font-family: verdana; font-size: 100%;">Στις παρακάτω δραστηριότητες θα προσπαθήσουμε να πειραματιστούμε</span><span style="font-family: verdana; font-size: 100%;"> και να ανακαλύψουμε τις σχέσεις που συνδέουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς παραπληρωματικών, συμπληρωματικών, αντίθετων και γωνιών που διαφέρουν κατά 180 μοίρες.</span><span style="font-family: verdana; font-size: 100%; font-style: italic;"> </span><span style="font-family: verdana; font-size: 100%;">Οι "πειραματισμοί" μας θα γίνουν στον <a href="http://mathimatika-gymnasiou-lykeiou.blogspot.com/2009/09/blog-post_26.html">τριγωνομετρικό κύκλο</a>, οπότε η εξοικείωση μ' αυτόν είναι αναγκαία.</span><br />
<span style="font-family: verdana; font-size: 100%;"></span><span style="font-family: verdana; font-size: 100%; font-style: italic; font-weight: bold;"><br />
</span><br />
<span style="font-family: verdana; font-size: 100%; font-style: italic; font-weight: bold;"><br />
</span><br />
<span style="font-family: verdana; font-size: 100%; font-style: italic; font-weight: bold;">Διερεύνηση 1:</span><span style="font-size: 100%;"><span style="font-family: verdana;"> Πατήστε </span><a href="http://ggbtu.be/m319095" style="font-family: verdana;" target="_blank">εδώ</a></span><span style="color: black; font-family: Verdana; font-size: 100%;"> για να "ανακαλύψετε" τις σχέσεις που συνδέουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των παραπληρωματικών γωνιών.<br />
</span><span style="font-family: arial; font-size: 100%; font-style: italic;"><br />
<span style="font-family: verdana; font-weight: bold;">Διερεύνηση 2:</span></span><span style="font-size: 100%;"><span style="font-family: verdana;"> Ομοίως </span><a href="http://ggbtu.be/m319103" style="font-family: verdana;" target="_blank">εδώ</a><span style="font-family: verdana;"> για τις γωνίες που διαφέρουν κατά 180 μοίρες.</span><br />
<br />
</span><span style="font-family: verdana; font-size: 100%; font-style: italic; font-weight: bold;">Διερεύνηση 3:</span><span style="font-family: verdana; font-size: 100%;"> Το ίδιο για τις <a href="http://ggbtu.be/m318531" target="_blank">αντίθετες</a> γωνίες.<br />
<br />
</span><span style="font-family: verdana; font-size: 100%; font-style: italic;"><span style="font-weight: bold;">Διερεύνηση 4:</span> </span><span style="font-family: verdana; font-size: 100%;">Τέλος "ανακαλύψτε" τις σχέσεις που συνδέουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των <a href="http://ggbtu.be/m319141" target="_blank">συμπληρωματικών</a> γωνιών.</span></div>
Νικολής Θανάσηςhttp://www.blogger.com/profile/10896842966873632142noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-767627481799345636.post-24541731889927536602009-10-03T19:40:00.006+03:002014-11-25T20:06:03.931+02:00Ένας γεωμετρικός τόπος<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Εδώ παρουσιάζεται ένας γεωμετρικός τόπος, ο οποίος παρόλο που είναι πολύ χρήσιμος για την κατανόηση των εγγράψιμων τετράπλευρων, είναι εκτός της διδακτέας ύλης. Πιστεύουμε ότι ο μαθητής ο οποίος θα βρει το χρόνο να πειραματιστεί με το παρακάτω θα ωφεληθεί αρκετά.<br />
(Πατήστε <a href="http://ggbtu.be/m326037" target="_blank">εδώ</a> για να ανοίξει η παρουσίαση)<br />
<br />
<blockquote>
Ποιος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου από τα οποία ένα δοσμένο ευθύγραμμο τμήμα φαίνεται υπό σταθερή γωνία;</blockquote>
<br />
<blockquote>
</blockquote>
</div>
Νικολής Θανάσηςhttp://www.blogger.com/profile/10896842966873632142noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-767627481799345636.post-76216077802574266252009-09-27T22:18:00.003+03:002014-11-25T20:11:42.134+02:00Εγγράψιμο τετράπλευρο<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<span style="color: black; font-family: Verdana; font-size: small;">Στην παρακάτω δραστηριότητα θα προσπαθήσουμε να ανακαλύψουμε τις ιδιότητες των εγγράψιμων τετραπλεύρων. Θα εξετάσουμε τις σχέσεις των απέναντι γωνιών του, μιας γωνίας του με την απέναντι εξωτερική, καθώς και τη θέση των μεσοκαθέτων των πλευρών του. Πατήστε <a href="http://ggbtu.be/m326059" target="_blank">εδώ</a> για να "πειραματιστείτε" και να ανακαλύψετε τις ιδιότητες.</span></div>
Νικολής Θανάσηςhttp://www.blogger.com/profile/10896842966873632142noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-767627481799345636.post-1958100017539757252009-09-26T23:23:00.001+03:002014-11-23T23:48:05.181+02:00Τριγωνομετρικός κύκλος<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Κάνετε κλικ <a href="http://ggbtu.be/m319115" target="_blank">εδώ</a> και εξοικειωθείτε με τον τριγωνομετρικό κύκλο.<br />
<span style="color: black; font-family: Verdana; font-size: 85%;"><br />
</span></div>
Νικολής Θανάσηςhttp://www.blogger.com/profile/10896842966873632142noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-767627481799345636.post-58520400416125637572009-09-26T21:58:00.003+03:002014-11-25T20:17:41.671+02:00Εγγεγραμμένη γωνία και γωνία χορδής και εφαπτομένης.<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Σ' αυτή τη δραστηριότητα μπορείτε να παρατηρήσετε και να ανακαλύψετε τις σχέσεις που συνδέουν την εγγεγραμμένη γωνία με το τόξο στο οποίο βαίνει καθώς και με την αντίστοιχη γωνία χορδής και εφαπτομένης. <br />
Κάνετε κλικ <a href="http://ggbtu.be/m326081" target="_blank">εδώ</a> και ακολουθήστε τις οδηγίες.</div>
Νικολής Θανάσηςhttp://www.blogger.com/profile/10896842966873632142noreply@blogger.com0