Συμμετρία ως προς κέντρο.

Στο δυναμικό σχήμα το οποίο παρουσιάζεται, μπορείτε να δείτε τη στροφή  ενός τριγώνου ως προς ένα σημείο. Ειδικότερα η στροφή κατά 180^o είναι η γνωστή μας συμμετρία ως προς κέντρο. Πατήστε εδώ για να πειραματιστείτε.

Οι ευθείες y=αx και y=αx+β

Η ευθεία y=αx διέρχεται από την αρχή των αξόνων και έχει κλίση  α. Η ευθεία y=αx+β δε διέρχεται από την αρχή των αξόνων για μη μηδενικό β.  Πειραματιστείτε με το διαδραστικό σχήμα για τις διάφορες τιμές των α και β και "ανακαλύψτε " τη σχέση που συνδέει τις δυο ευθείες. Για να ανοίξει το σχήμα πατήστε εδώ.

Υπολογισμός εμβαδού όταν το ένα όριο τείνει στο άπειρο.

Θεωρούμε  Ε(λ) το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της

την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της A(1 , e), τον άξονα  x'x και την κατακόρυφη ευθεία x=λ, με λ<0.

1. Αποδείξτε ότι                                                                                                                                                                                                                                                            
2.  Αποδείξτε ότι                                                                                                                            

Για να πειραματιστείτε με το εμβαδόν εμφανίστε το διαδραστικό σχέδιο.                                                                                                                                                  

Το ορθόκεντρο ενός τριγώνου και ο περιγεγραμμένος κύκλος

Ένα απλό Λήμμα το οποίο αποτελεί μια ωραία εφαρμογή στα εγγεγραμμένα τετράπλευρα είναι το εξής:

Τα συμμετρικά σημεία του ορθόκεντρου ενός τριγώνου ως προς τις πλευρές του ανήκουν στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου.

Το δυναμικό σχήμα το οποίο θα ανοίξει πατώντας τον προηγούμενο σύνδεσμο σας δίνει τη δυνατότητα να δείτε και να πειραματιστείτε με τα συμμετρικά σημεία του ορθόκεντρου, αλλά και σας δίνει μια υπόδειξη για την απόδειξη του προηγούμενου Λήμματος.

Κέντρα Τριγώνου: Ορθόκεντρο

Στο  διαδραστικό σχήμα στο οποίο θα συνδεθείτε πατώντας εδώ, μπορείτε να παρατηρήσετε τα ύψη ενός τριγώνου και την σημαντική και "παράξενη" ιδιότητά τους να συντρέχουν δηλαδή να διέρχονται από το ίδιο σημείο. Μπορείτε να αλλάξετε το τρίγωνο σύροντας τις κορυφές του με το ποντίκι, και συγχρόνως να παρακολουθείτε πως αλλάζουν μαζί τα ύψη και το σημείο τομής τους δηλαδή το ορθόκεντρο του τριγώνου. Πειραματιστείτε επίσης με την περίπτωση όπου το τρίγωνο είναι ορθογώνιο ή αμβλυγώνιο. Τι συμβαίνει τότε με τη θέση του ορθόκεντρου;

Δεύτερη παράγωγος και συντελεστής διεύθυνσης εφαπτομένης

Με αφορμή την παρακάτω άσκηση (η οποία είναι μια συνηθισμένη άσκηση στα ακρότατα και μπορούμε να τη βρούμε σε πολλά βιβλία), προσπαθούμε με το παρακάτω δυναμικό σχέδιο (πατήστε εδώ ) να ξεκαθαρίσουμε ότι άλλο το σημείο όπου μια συνάρτηση έχει μέγιστο και άλλο σε ποιο σημείο ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης γίνεται μέγιστος.

Άσκηση: Δίνεται η
.
Να βρείτε το σημείο της γραφικής παράστασης της f όπου ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης γίνεται μέγιστος.

Το συνηθισμένο λάθος που γίνεται σ' αυτήν την άσκηση είναι ότι οι μαθητές βρίσκουν το σημείο στο οποίο η f έχει μέγιστο, από το πρόσημο της πρώτης παραγώγου. Το σωστό είναι βέβαια να βρούμε το σημείο στο οποίο η f ' έχει μέγιστο, που σημαίνει να βρούμε το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου.

Κυλιόμενοι κύκλοι. Επίκυκλοι και Υπόκυκλοι.

Κύκλοι που κυλίονται πάνω σε άλλους κύκλους (επίκυκλοι) ή μέσα σε άλλους κύκλους (υπόκυκλοι) ή πάνω σε ευθείες, κινούσαν από πάντα το ενδιαφέρον όχι μόνο των μαθηματικών, αλλά και των αστρονόμων και των μηχανικών.

Γραφική παράσταση της f(x)=a ημ(ω x)+β

Για να "κατεβάσετε" το φύλλο εργασίας πατήστε εδώ.
Θα χρειαστείτε τα παρακάτω δυναμικά σχέδια:
sinus1.html,
sinus2.html,
sinus3.html.

Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο

Στις παρακάτω δραστηριότητες θα προσπαθήσουμε να πειραματιστούμε και να ανακαλύψουμε τις σχέσεις που συνδέουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς παραπληρωματικών, συμπληρωματικών, αντίθετων και γωνιών που διαφέρουν κατά 180 μοίρες. Οι "πειραματισμοί" μας θα γίνουν στον τριγωνομετρικό κύκλο, οπότε η εξοικείωση μ' αυτόν είναι αναγκαία.




Διερεύνηση 1: Πατήστε εδώ για να "ανακαλύψετε" τις σχέσεις που συνδέουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των παραπληρωματικών γωνιών.

Διερεύνηση 2: Ομοίως εδώ για τις γωνίες που διαφέρουν κατά 180 μοίρες.

Διερεύνηση 3: Το ίδιο για τις αντίθετες γωνίες.

Διερεύνηση 4: Τέλος "ανακαλύψτε" τις σχέσεις που συνδέουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των συμπληρωματικών γωνιών.

Ένας γεωμετρικός τόπος

Εδώ παρουσιάζεται ένας γεωμετρικός τόπος, ο οποίος παρόλο που είναι πολύ χρήσιμος για την κατανόηση των εγγράψιμων τετράπλευρων, είναι εκτός της διδακτέας ύλης. Πιστεύουμε ότι ο μαθητής ο οποίος θα βρει το χρόνο να πειραματιστεί με το παρακάτω θα ωφεληθεί αρκετά.
(Πατήστε εδώ για να ανοίξει η παρουσίαση)

Ποιος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου από τα οποία ένα δοσμένο ευθύγραμμο τμήμα φαίνεται υπό σταθερή γωνία;